( 2,3) এবং (4,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশটি (3,4) বিন্দুতে কি অনুপাতে বিভক্ত হয় ?

ধরি, A = (2,3) এবং B = (4,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশটি P = (3,4) বিন্দুতে \(m_1 : m_2\) অনুপাতে বিভক্ত হয়।

আমরা জানি, যদি \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে কোনো বিন্দু \((x, y)\) দ্বারা \(m_1 : m_2\) অনুপাতে বিভক্ত হয়, তবে বিভাজন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[ x = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} \]

\[ y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} \]

এখানে, \((x_1, y_1) = (2,3)\), \((x_2, y_2) = (4,5)\) এবং বিভাজন বিন্দু \((x, y) = (3,4)\)।

আমরা x-স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে অনুপাতটি নির্ণয় করতে পারি:

\(3 = \frac{m_1 \cdot 4 + m_2 \cdot 2}{m_1 + m_2}\)

\(3(m_1 + m_2) = 4m_1 + 2m_2\)

\(3m_1 + 3m_2 = 4m_1 + 2m_2\)

\(3m_2 - 2m_2 = 4m_1 - 3m_1\)

\(m_2 = m_1\)

সুতরাং, \(m_1 : m_2 = 1 : 1\)

একইভাবে, আমরা y-স্থানাঙ্ক ব্যবহার করেও অনুপাতটি নির্ণয় করতে পারি:

\(4 = \frac{m_1 \cdot 5 + m_2 \cdot 3}{m_1 + m_2}\)

\(4(m_1 + m_2) = 5m_1 + 3m_2\)

\(4m_1 + 4m_2 = 5m_1 + 3m_2\)

\(4m_2 - 3m_2 = 5m_1 - 4m_1\)

\(m_2 = m_1\)

সুতরাং, \(m_1 : m_2 = 1 : 1\)

অর্থাৎ, রেখাংশটি 1:1 অনুপাতে বিভক্ত হয়। এর অর্থ হলো (3,4) বিন্দুটি (2,3) এবং (4,5) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু।